{"id":200,"date":"2023-10-29T18:50:11","date_gmt":"2023-10-29T18:50:11","guid":{"rendered":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/?page_id=200"},"modified":"2023-10-29T18:50:11","modified_gmt":"2023-10-29T18:50:11","slug":"a-experiencia-de-eratostenes","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/a-experiencia-de-eratostenes\/","title":{"rendered":"A experi\u00eancia de Erat\u00f3stenes"},"content":{"rendered":"\n

A obra em que Erat\u00f3stenes descreve a sua experi\u00eancia, o Geographik\u00e1, foi perdida (s\u00f3 se conhecem fragmentos dos tr\u00eas volumes que a constitu\u00edam). A fonte que se lhe refere \u00e9 Cleomedes que viveu cerca de 200 anos depois. Assim, algumas quest\u00f5es mant\u00eam-se incertas como o valor da unidade de medida por ele usada (o est\u00e1dio). Confiemos, portanto, nas palavras de Carl Sagan que nos conta de uma forma admir\u00e1vel como Erat\u00f3stenes realizou a sua medi\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

\u201cA descoberta de que a Terra \u00e9 um mundo pequeno, assim como tantas outras descobertas humanas importantes, foi feita no antigo Pr\u00f3ximo Oriente, num tempo a que alguns homens chamam o s\u00e9culo III a.C., na grande metr\u00f3pole da \u00e9poca, a cidade eg\u00edpcia de Alexandria. A\u00ed viveu um homem chamado Erat\u00f3stenes. Um contempor\u00e2neo levado pela inveja, chamou-lhe Beta, a segunda letra do alfabeto grego, porque, dizia ele, Erat\u00f3stenes era segundo em tudo, mas para n\u00f3s evidentemente que Erat\u00f3stenes era Alfa em quase tudo.<\/p>\n\n\n\n

Astr\u00f3nomo, historiador, ge\u00f3grafo, fil\u00f3sofo, poeta, cr\u00edtico teatral e matem\u00e1tico, os t\u00edtulos dos livros que escreveu v\u00e3o de Astronomia a Sobre a Liberta\u00e7\u00e3o da Dor. Era tamb\u00e9m o diretor da grande Biblioteca de Alexandria, onde, um dia, leu num livro de papiro que no posto fronteiri\u00e7o sul de Siena, perto da primeira catarata do Nilo, ao meio-dia de 21 de junho, varas verticais n\u00e3o faziam sombra. No solst\u00edcio de ver\u00e3o, no dia mais longo do ano, \u00e0 medida que se aproximava o meio-dia, as sombras das colunas do templo ficavam mais pequenas. Ao meio-dia desapareciam. Nessa altura podia ver-se o reflexo do Sol na \u00e1gua no fundo de um po\u00e7o. O Sol estava ent\u00e3o a pino. Era o tipo de observa\u00e7\u00e3o que qualquer outra pessoa ignoraria. Varas, sombras, reflexos em po\u00e7os, a posi\u00e7\u00e3o do Sol – que import\u00e2ncia poderiam ter assuntos do quotidiano assim t\u00e3o simples?
Mas Erat\u00f3stenes era um cientista e as suas reflex\u00f5es sobre estes lugares-comuns mudaram o mundo; de certa forma, fizeram o mundo. Erat\u00f3stenes teve a presen\u00e7a de esp\u00edrito para fazer uma experi\u00eancia: observar se em Alexandria, ao meio-dia de 21 de junho, varas verticais davam sombra. E descobriu que sim.
Erat\u00f3stenes perguntou a si pr\u00f3prio como era poss\u00edvel que, no mesmo momento, em Siena uma vara n\u00e3o desse sombra e em Alexandria, mais para norte, uma vara desse uma sombra bem vis\u00edvel. Imaginem um mapa do antigo Egito com duas varas verticais do mesmo tamanho, uma espetada em Alexandria, a outra em Siena. Suponham que, a dado momento, nenhuma delas d\u00e1 sombra. \u00c9 perfeitamente compreens\u00edvel – desde que a Terra seja plana. O Sol estaria ent\u00e3o na vertical. Se as duas varas dessem sombras de tamanho igual, isso tamb\u00e9m faria sentido numa Terra plana: os raios do Sol teriam a mesma inclina\u00e7\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o \u00e0s varas. Mas como era poss\u00edvel que no mesmo instante n\u00e3o houvesse sombra em Siena e em Alexandria ela fosse bem vis\u00edvel?<\/p>\n\n\n\n

Na sua opini\u00e3o, a \u00fanica resposta poss\u00edvel era a superf\u00edcie da Terra ser curva. E n\u00e3o s\u00f3: quanto maior fosse a curvatura maior seria a diferen\u00e7a de comprimentos das sombras. O Sol est\u00e1 t\u00e3o longe que os seus raios s\u00e3o praticamente paralelos ao atingir a Terra. Varas colocadas em diferentes \u00e2ngulos em rela\u00e7\u00e3o aos raios solares d\u00e3o sombras de diferentes comprimentos. De acordo com a diferen\u00e7a observada no comprimento das sombras, a dist\u00e2ncia entre Alexandria e Siena teria de ser cerca de 7\u00b0 ao longo da superf\u00edcie da Terra; ou seja, se imaginarmos as varas a estenderem-se at\u00e9 ao centro da Terra, elas intercetar-se-iam num \u00e2ngulo de 7\u00b0. 7\u00ba s\u00e3o cerca de um quinquag\u00e9simo de 360\u00b0, a circunfer\u00eancia total da Terra. Erat\u00f3stenes sabia que a dist\u00e2ncia entre Alexandria e Siena era aproximadamente 800 km, porque contratou um homem para a percorrer a p\u00e9! 800 km vezes 50 s\u00e3o 40000 km: essa devia ser, portanto, a circunfer\u00eancia da Terra .
Era a resposta. Os \u00fanicos instrumentos de que Erat\u00f3stenes dispunha eram varas, olhos, p\u00e9s e intelig\u00eancia, al\u00e9m do gosto pela experi\u00eancia. Com eles calculou a circunfer\u00eancia da Terra, com uma pequen\u00edssima percentagem de erro, um c\u00e1lculo not\u00e1vel para 2200 anos atr\u00e1s. Foi a primeira pessoa a medir com precis\u00e3o o tamanho dum planeta.\u201c<\/p>\n\n\n\n

Cosmos, Carl Sagan<\/p>\n\n\n\n


<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>
\n

Analisando com mais detalhe os c\u00e1lculos e conceitos matem\u00e1ticos envolvidos na experi\u00eancia, podemos esquematiz\u00e1-la de acordo com a figura ao lado.
No instante da experi\u00eancia, o raio da Terra que passava por Siena, [CS], tem a dire\u00e7\u00e3o dos raios luminosos do Sol ( muito aproximadamente paralelos dada a grande dist\u00e2ncia entre a Terra e o Sol ). Da\u00ed, para achar o comprimento da circunfer\u00eancia do meridiano terrestre de Siena, tudo o que restava fazer era:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  • utilizar outra cidade no meridiano de Siena (na experi\u00eancia de Erat\u00f3stenes – Alexandria );<\/li>\n\n\n\n
  • medir o \u00e2ngulo a da sombra projetada por uma vara em Alexandria (do paralelismo dos raios solares sabe-se que a=b);<\/li>\n\n\n\n
  • medir a dist\u00e2ncia entre Siena e Alexandria.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

    Erat\u00f3stenes encontrou o valor de 1\/50 do \u00e2ngulo giro para\u00a0a\u00a0(7\u00ba 12\u2019), assim o arco de meridiano compreendido entre Siena e Alexandria (a dist\u00e2ncia medida sobre a superf\u00edcie da Terra entre as duas cidades) ter\u00e1 de ser tamb\u00e9m 1\/50 do per\u00edmetro total do meridiano. Como conhecia essa dist\u00e2ncia (5000 est\u00e1dios), encontrou para a circunfer\u00eancia terrestre 50X5000=250000 est\u00e1dios, cerca de 40 000 km.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>
    \n

    <\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

    O c\u00e1lculo de Erat\u00f3stenes, extraordinariamente preciso atendendo \u00e0 \u00e9poca e condi\u00e7\u00f5es como foi realizado, foi afetado, contudo, por algumas imprecis\u00f5es. A dist\u00e2ncia entre Alexandria e Siena \u00e9 de 4 628 est\u00e1dios e n\u00e3o 5 000 est\u00e1dios. Se olharmos qualquer mapa moderno (Siena \u00e9 a atual Assu\u00e3o), veremos que essas duas cidades n\u00e3o est\u00e3o num mesmo meridiano; h\u00e1 uma diferen\u00e7a de cerca de 3 graus de longitude.<\/p>\n\n\n\n

    Determina\u00e7\u00f5es posteriores do per\u00edmetro da Terra
    No c\u00e1lculo do per\u00edmetro da Terra n\u00e3o houve melhorias de precis\u00e3o durante centenas de anos. Em 1671, Jean Picard (astr\u00f3nomo franc\u00eas) estabeleceu a medida do comprimento de um grau de meridiano em 111 km, o que d\u00e1 um valor de 111 X 360 = 39 960 km para o per\u00edmetro da Terra.
    Em 1686, Newton mostrou que a Terra n\u00e3o era exatamente esf\u00e9rica pois tinha um achatamento polar. A partir desse momento a comunidade cient\u00edfica passou a interessar-se muito pela obten\u00e7\u00e3o de medidas da superf\u00edcie terrestre em diversas regi\u00f5es. Em Fran\u00e7a v\u00e1rias foram as comiss\u00f5es formadas com esse intuito. Das mais importantes destacam-se as que mediram o meridiano no Peru (entre 1735 e 1745) e na Lap\u00f4nia: ambas confirmaram Newton. Uma consequ\u00eancia importante foi a introdu\u00e7\u00e3o do metro em 1791, definido como 1\/10 000 000 do quadrante do meridiano de Paris.<\/p>\n\n\n\n

    Como a forma da Terra n\u00e3o \u00e9 perfeitamente esf\u00e9rica (diversas irregularidades incluindo o achatamento polar) passou-se a referir as suas dimens\u00f5es relativamente a um elipsoide, denominado Elipsoide de Refer\u00eancia, que se aproxima tanto quanto poss\u00edvel da superf\u00edcie da Terra.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>
    \n

    No in\u00edcio do s\u00e9culo XX um novo n\u00edvel de precis\u00e3o foi atingido porque pela primeira vez equipas de cientistas efetuaram medidas m\u00faltiplas de grandes arcos da superf\u00edcie terrestre.<\/p>\n\n\n\n

    Desde essa altura e com o aux\u00edlio de sat\u00e9lites (1.\u00ba sat\u00e9lite geod\u00e9sico \u2013 Echo 1, 1960) novas medidas, cada vez mais rigorosas e que varrem toda a superf\u00edcie terrestre t\u00eam sido estabelecidas.
    Hoje em dia, com o aumento de precis\u00e3o das medi\u00e7\u00f5es, procura-se estabelecer a verdadeira superf\u00edcie da Terra. Estes novos dados levaram a estabelecer uma nova superf\u00edcie de refer\u00eancia – o geoide. Trata-se de um modelo que tem em conta a influ\u00eancia da gravidade terrestre e lunar nas diferentes regi\u00f5es. \u00c9 mais irregular do que o elipsoide de revolu\u00e7\u00e3o, usado anteriormente para aproximar a forma do planeta, mas consideravelmente mais suave do que a pr\u00f3pria superf\u00edcie f\u00edsica terrestre. Esta nova vis\u00e3o da superf\u00edcie terrestre afasta-nos da vis\u00e3o esf\u00e9rica tradicional e leva-nos para uma imagem de uma \u201cTerra Batata\u201d que mostra como varia consideravelmente a gravidade em v\u00e1rios pontos do planeta.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

    \n

    Verifica-se que n\u00e3o h\u00e1 muitas \u00e1reas da superf\u00edcie terrestre que sejam quase coincidentes com estas superf\u00edcies de refer\u00eancia. Verifica-se, contudo, que essa quase perfeita coincid\u00eancia se d\u00e1 ao longo de um arco de meridiano com origem no equador e que se prolonga ao longo da bacia do rio Nilo at\u00e9 uma latitude de 55\u00ba j\u00e1 no territ\u00f3rio da R\u00fassia. Feliz coincid\u00eancia, pois a zona da experi\u00eancia de Erat\u00f3stenes est\u00e1 precisamente aqui inclu\u00edda!<\/p>\n<\/div>

    \"\"<\/figure><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    A obra em que Erat\u00f3stenes descreve a sua experi\u00eancia, o Geographik\u00e1, foi perdida (s\u00f3 se conhecem fragmentos dos tr\u00eas volumes que a constitu\u00edam). A fonte que se lhe refere \u00e9 Cleomedes que viveu cerca de 200 anos depois. Assim, algumas quest\u00f5es mant\u00eam-se incertas como o valor da unidade de medida por ele usada (o est\u00e1dio). Confiemos, […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-200","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/200","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=200"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/200\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":205,"href":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/200\/revisions\/205"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/matastro.pt\/astro\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=200"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}