{"id":557,"date":"2024-09-29T14:20:09","date_gmt":"2024-09-29T14:20:09","guid":{"rendered":"https:\/\/matastro.pt\/matcurvas\/?page_id=557"},"modified":"2024-10-04T13:53:11","modified_gmt":"2024-10-04T13:53:11","slug":"curvas-introducao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/matastro.pt\/matcurvas\/curvas-introducao\/","title":{"rendered":"Curvas (introdu\u00e7\u00e3o)"},"content":{"rendered":"\n
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CURVAS<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pode-se entender o conceito matem\u00e1tico de linha curva, ou simplesmente curva, pensando na trajet\u00f3ria de um ponto em movimento. Trata-se, portanto, do lugar geom\u00e9trico descrito por um ponto que se desloca de acordo com uma determinada lei. Esta defini\u00e7\u00e3o intuitiva permite incluir no termo as linhas retas e as poligonais. A ideia de curva \u00e9 mais ampla do que a do gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o, pois, uma curva pode ser fechada, uma trajet\u00f3ria que se repete, em espiral, ou intersetar-se sobre si pr\u00f3pria. Destacam-se as curvas em espa\u00e7os de duas dimens\u00f5es (curvas planas) ou tr\u00eas dimens\u00f5es (curvas espaciais). As linhas curvas no plano foram, historicamente, classificadas em duas formas, curvas alg\u00e9bricas e curvas transcendentais, decorrendo do tipo de express\u00e3o matem\u00e1tica que as definem. Com o aparecimento da geometria fractal, surgiram as curvas fractais, objetos constitu\u00eddos por infinitas partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original, constituindo um padr\u00e3o repetitivo, obtido por processos recorrentes.<\/p>\n\n\n\n

Qualquer ponto no plano pode ser representado por um par ordenado de n\u00fameros chamados coordenadas.  Analogamente, num espa\u00e7o tridimensional a cada ponto corresponder\u00e3o tr\u00eas coordenadas.<\/p>\n\n\n\n

Destes sistemas vejamos dois que s\u00e3o muito utilizados: Cartesiano e Polar.<\/p>\n\n\n\n

Coordenadas cartesianas<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Neste sistema considera-se no plano dois eixos perpendiculares que se cruzam num ponto que  ser\u00e1 a origem das coordenadas. Ao eixo horizontal \u00e9 dada a designa\u00e7\u00e3o de eixo das abcissas e \u00e0 dist\u00e2ncia horizontal entre determinado ponto e o eixo vertical \u00e9 dada a designa\u00e7\u00e3o de abcissa (representada usualmente pela letra x). Ao eixo vertical \u00e9 dada a designa\u00e7\u00e3o de eixo das ordenadas e \u00e0 dist\u00e2ncia vertical entre determinado ponto e o eixo horizontal \u00e9 dada a designa\u00e7\u00e3o de ordenada (representada pela letra y). Assim, cada ponto num plano pode ser definido por um par ordenado do tipo ( x , y ) em que x \u00e9 a abcissa e y \u00e9 a ordenada. Da mesma forma, num espa\u00e7o tridimensional, qualquer ponto pode ser representado por uma tripla ordenada do tipo (x,y,z), em que cada coordenada representa a dist\u00e2ncia m\u00ednima entre o ponto e o plano formado pelas eixos que representam as outras duas coordenadas.<\/p>\n\n\n\n

Coordenadas Polares<\/strong><\/p>\n\n\n\n

 Como vimos para determinar um ponto no plano s\u00e3o necess\u00e1rias duas \u201ccoordenadas\u201d. No caso  das coordenadas polares, define-se cada ponto atrav\u00e9s de uma dist\u00e2ncia e um \u00e2ngulo. A primeira, usualmente representada por r, \u00e9 a dist\u00e2ncia do ponto \u00e0 origem, tamb\u00e9m denominada p\u00f3lo do sistema, da\u00ed o nome de coordenadas polares. Quando a dist\u00e2ncia r n\u00e3o \u00e9 nula o segmento que une a origem ao ponto e o semi-eixo positivo Ox formam um \u00e2ngulo orientado, usualmente denotado por \u03b8. Conhecidos r e \u03b8 o ponto fica perfeitamente determinado (no caso da origem do referencial basta considerar r=0).<\/p>\n\n\n\n

Podemos usar os diferentes sistemas de coordenadas para definir curvas ou, de uma forma mais geral, lugares geom\u00e9tricos, atrav\u00e9s de condi\u00e7\u00f5es que relacionam as coordenadas dos pontos que integram esses \u201clugares\u201d. No caso particular das curvas essas condi\u00e7\u00f5es s\u00e3o em geral equa\u00e7\u00f5es denominadas por:<\/p>\n\n\n\n

Equa\u00e7\u00e3o cartesiana: envolvendo apenas as vari\u00e1veis x,y e que estabelece a condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria para que um ponto com as coordenadas cartesianas (x,y) perten\u00e7a ao lugar geom\u00e9trico.<\/p>\n\n\n\n

Equa\u00e7\u00e3o polar: envolvendo apenas as vari\u00e1veis r, \u03b8 e que estabelece a condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria para que um ponto com as coordenadas polares (r,\u03b8) perten\u00e7a ao lugar geom\u00e9trico.<\/p>\n\n\n\n

Equa\u00e7\u00f5es Param\u00e9tricas: Neste caso as coordenadas x e y dos pontos integrantes do lugar geom\u00e9trico s\u00e3o expressos em fun\u00e7\u00e3o de uma terceira vari\u00e1vel ou par\u00e2metro, muitas vezes denominado t. Assim, obteremos um par de equa\u00e7\u00f5es da forma x = f(t) e y = g(t). Cada valor de t determina um ponto (x, y), no plano. Quando t varia, o ponto (x, y) = (f(t), g(t)) varia e tra\u00e7a o lugar geom\u00e9trico. O par\u00e2metro t n\u00e3o representa necessariamente o tempo. Em muitas aplica\u00e7\u00f5es das curvas, quando estas reproduzem a trajet\u00f3ria de um ponto, pode-se, de facto, interpretar (x, y) = (f(t), g(t)) como a posi\u00e7\u00e3o desse ponto m\u00f3vel no instante t.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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